मूल बातें (Basics)
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद ax² + bx + c (जहाँ a ≠ 0) के दो शून्यक हों, तो:
शून्यकों का योग: α + β = −b/a
शून्यकों का गुणनफल: α × β = c/a
इसके विपरीत, यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात हों, तो बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है:
p(x) = x² − (α + β)x + (α × β)
द्विघात बहुपद ax² + bx + c का आलेख एक परवलय (परबोला) होता है — यदि a > 0 तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और यदि a < 0 तो नीचे की ओर खुलता है। यह आलेख x-अक्ष को अधिकतम 2 बिंदुओं पर काटता है (क्योंकि द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक होते हैं)।
सहायक सर्वसमिका: a² − b² = (a + b)(a − b)
वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर (MCQ)
1. द्विघात बहुपद ax² + bx + c का ग्राफ नीचे की ओर खुला है तो :
(1) a ≥ 0(2) a < 0 ✓(3) a > 0(4) a = 0
2. द्विघात बहुपद का संगत आलेख x-अक्ष को अधिकतम कितने बिन्दुओं पर काटता है :
(1) एक(2) दो ✓(3) तीन(4) शून्य
3. द्विघात बहुपद ax² − b का ग्राफ होगा :
(1) अधोमुखी(2) ऊर्ध्वमुखी ✓(3) 1 एवं 2 दोनों(4) इनमें से कोई नहीं
4. बहुपद x² − 3 का शून्यक है :
(1) 3, −3(2) 3, 3(3) √3, √3(4) −√3, √3 ✓
5. 4u² + 8u का शून्यक है :
(1) −2, 2(2) 2, 2(3) −2, 0 ✓(4) 0, 0
6. बहुपद t² − 15 के शून्यक हैं :
(1) −√15, −√15(2) −√15, √15 ✓(3) √15, √15(4) −15, 15
7. द्विघात बहुपद t² − 15 के शून्यक हैं :
(1) दोनों समान(2) दोनों धनात्मक(3) दोनों ऋणात्मक(4) एक धनात्मक एक ऋणात्मक ✓
8. बहुपद x² − 2x − 8 के शून्यक हैं :
(1) 2, 4(2) 2, −4(3) −2, 4 ✓(4) −2, −4
9. बहुपद 3x² − x − 4 के शून्यक हैं :
(1) −1, 4/3 ✓(2) 1, −4/3(3) 1, 4/3(4) −1, −4/3
10. यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c के दो शून्यक हों तो (α + β) होगा :
(1) −b/a ✓(2) b/a(3) b × a(4) b + a
11. यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c के दो शून्यक हों तो (α × β) होगा :
(1) c + a(2) c − a(3) −c/a(4) c/a ✓
12. यदि α और β किसी द्विघात समीकरण के दो शून्यक हों तो, समीकरण का रूप होगा :
(1) x² + (α+β)x + (α×β)(2) x² − (α+β)x + (α×β) ✓(3) x² − (α+β)x − (α×β)(4) x² + (α+β)x − (α×β)
13. a² − b² = ?
(1) (a+b)(a+b)(2) (a−b)(a−b)(3) (a+b)(a−b) ✓(4) इनमें से कोई नहीं
14. द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 शून्यकों का योग क्या है :
(1) 3(2) 7(3) −7 ✓(4) −3
15. द्विघात बहुपद x² − 3x − 4 के शून्यकों का योगफल होगा :
(1) 3 ✓(2) −3(3) 3/4(4) −3/4
16. द्विघात बहुपद x² − 4x + 3 के शून्यकों का योगफल है :
(1) 4 ✓(2) −4(3) 3(4) −3
17. द्विघात बहुपद 6x² − 3 − 7x के शून्यकों का योगफल है :
(1) −7/6(2) −6/7(3) +7/6 ✓(4) +6/7
18. यदि द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग −3 एवं गुणनफल 2 हो तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) x² + 3x + 2 ✓(2) x² − 3x + 2(3) x² + 3x − 2(4) x² − 3x − 2
19. यदि द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √5 हो तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) x² − √5(2) x² + √5 ✓(3) x − √5(4) x + √5
20. द्विघात बहुपद होगा जिसके शून्यकों का योग √2 और गुणनफल 1/3 है :
(1) 3x² + 3√2x + 1(2) 3x² − 3√2x + 1 ✓(3) 3x² − 3√2x − 1(4) इनमें से कोई नहीं
21. शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) x² − 3x + 2(2) x² + 3x − 2(3) x² − 3x − 2(4) x² + 3x + 2 ✓
22. शून्यकों का योग 1 और गुणनफल 1 है तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) x² + x + 1(2) x² − x − 1(3) x² − x + 1 ✓(4) x² + x − 1
23. शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 है तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) x² − 4x − 1(2) x² − 4x + 1 ✓(3) x² + 4x − 1(4) x² + 4x + 1
24. द्विघात बहुपद का शून्यक −√3 एवं √3 है तो द्विघात बहुपद है :
(1) x² + 3(2) x² − 3 ✓(3) x² + 2x + 3(4) x² + 2x − 3
25. द्विघात बहुपद का शून्यक α एवं β हों तो द्विघात बहुपद होगा :
(1) (x−α)(x+β)(2) (x+α)(x−β)(3) (x+α)(x+β)(4) (x−α)(x−β) ✓
26. द्विघात बहुपद x² − 2x − 8 के शून्यक α एवं β हो तो 1/α + 1/β का मान है :
(1) 1/4(2) −1/4 ✓(3) 8(4) −8
27. यदि α, β द्विघात बहुपद x² + 2x + 1 के शून्यक हैं तब 1/α + 1/β = :
(1) 2 ✓(2) −2(3) 0(4) 1
28. यदि α एवं β द्विघात बहुपद 6x² − 3 − 7x के शून्यक हों तो α, β का मान है :
(1) 2(2) −2(3) −7/6(4) 7/6 ✓
हल सहित उदाहरण (Solved Examples)
प्रश्न: बहुपद x² − 2x − 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है, x² − 2x − 8
= x² + 2x − 4x − 8
= x(x + 2) − 4(x + 2)
= (x + 2)(x − 4)
शून्यक होंगे यदि (x + 2) = 0 या (x − 4) = 0
अतः x = −2, x = 4
प्रश्न: बहुपद x² − 2x − 8 का शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि x² − 2x − 8
हल: x² − 2x − 8 = x² + 2x − 4x − 8
= x(x + 2) − 4(x + 2)
= (x + 2)(x − 4)
अतः शून्यक −2 तथा 4 होंगे।
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