बहुपद (Polynomials)

बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ — नोट्स एवं अभ्यास प्रश्न (कक्षा 10)

मूल परिभाषा

एक चर x में बहुपद का मूल रूप है —
a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ, जहाँ n एक पूर्णांक है और a₀, a₁, ..., aₙ₋₁, aₙ वास्तविक संख्याएँ हैं।

बहुपदों को हम f(x), g(x), h(x), p(x), q(x) इत्यादि नामों से दर्शाते हैं।

बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: बहुपद का आलेख x'x (x-अक्ष) को जितनी बार स्पर्श या प्रतिच्छेद करता है, बहुपद का शून्यक उतना ही होता है।

भाग 1 — ग्राफ से शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1. किसी बहुपद p(x) के लिए ग्राफ आकृति में दिया गया है, बहुपद के शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(1) 0(2) 1(3) 2(4) 3 ✓

प्रश्न 2. ग्राफ से बहुपद के शून्यकों की संख्या है :

(1) 1 ✓(2) 2(3) 3(4) 4

प्रश्न 3. ग्राफ से बहुपद के शून्यकों की संख्या है :

(1) 1(2) 2(3) 3(4) 4 ✓

प्रश्न 4. दिए गए बहुपद के आलेखों में किस आलेख के शून्यकों की संख्या 3 होगी?

(1)

(2)

(3) ✓ सही उत्तर

(4)

उत्तर: विकल्प (3)

प्रश्न 5. ग्राफ से बहुपद के शून्यकों की संख्या है :

(1) 1(2) 2 ✓(3) 3(4) 4

प्रश्न 6. ग्राफ से बहुपद के शून्यकों की संख्या है :

(1) 2 ✓(2) 3(3) 4(4) 5

प्रश्न 7. किसी बहुपद p(x) के लिए ग्राफ आकृति में दिया गया है, बहुपद के शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(1) 0(2) 1(3) 2 ✓(4) 3

प्रश्न 8. किसी बहुपद p(x) के लिए ग्राफ आकृति में दिया गया है, बहुपद के शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(1) 0 ✓(2) 1(3) 2(4) 3

(यहाँ वक्र x-अक्ष को कहीं भी स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता — केवल अक्ष रेखाएँ दी गई हैं।)

प्रश्न 9. किसी बहुपद p(x) के लिए ग्राफ आकृति में दिया गया है, बहुपद के शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(1) 0(2) 1 ✓(3) 2(4) 3

भाग 2 — शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध (वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 10. द्विघात बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या होती है :

(1) 2 ✓(2) 1(3) 4(4) 3

प्रश्न 11. त्रिघात बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या होती है :

(1) 0(2) 2(3) 3 ✓(4) 4

प्रश्न 12. द्विघात बहुपद के आलेख का आकार है :

(1) सरल रेखा(2) पाराबोला ✓(3) वृत्तीय(4) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 13. द्विघात बहुपद ax² + bx + c का ग्राफ ऊपर की ओर खुला है तो :

(1) a = 0(2) a > 0 ✓(3) a < 0(4) a ≥ 0